TORSI

Tujuan Pembelajaran:

Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar torsi serta keterkaitanya dengan momen inersia, tegangan dan regangan geser.

Definisi torsi

Suatu batang dijepit dengan kuat pada salah satu ujungnya dan ujung yang lainnya diputar dengan suatu torsi (momen puntir, twisting moment) T = Fd yang bekerja pada bidang tegaklurus sumbu batang seperti terlihat pada Gb. 5-1. Batang tersebut dikatakan dalam kondisi kena torsi. T adalah torsi (Nm), F adalah gaya (N) dan d adalah diameter lengan putar (m). Alternatif lain untuk menyatakan adanya torsi adalah dengan dua tanda vektor dengan arah sejajar sumbu batang.

 

Gb. 5-1

Momen kutub inersia

Untuk suatu batang bulat berlobang (pipa) dengan diameter luar D_o dan diameter dalam D_i, momen kutub inersia (polar moment of inertia) penampang melintang luasnya, biasanya dinotasikan dengan J, diberikan dengan:

                                                                                 (5.1)

Momen kutub inersia untuk batang bulat tanpa lubang (batang pejal) dapat diperoleh dengan memberi nilai D_i = 0. Kuantitas dari J merupakan sifat matematis dari geometri penampang melintang yang muncul dalam kajian tegangan pada batang atau poros bulat yang dikenai torsi.

Sering untuk tujuan praktis, persamaan diatas ditulis kembali dalam bentuk:

                 

                   

Bentuk terakhir dari persamaan diatas sangat berguna khususnya pada evaluasi numeris J dimana perbedaan antara  adalah kecil.

Tegangan Geser Torsi

Baik untuk poros pejal maupun poros berlubang yang dikenai momen puntir T torsi tegangan geser (torsional shearing stress) τ pada jarak p dari titik pusat poros dinyatakan dengan:

                                                                                                 (5.2) Penjabarannya diberikan dalam contoh 1. Distribusi tegangan bervariasi dari nol pada pusat poros sampai dengan maksimum pada sisi luar poros seperti diilustrasikan pada Gb. 5-2. 

                                                                                          Gb. 5-2

Regangan geser

Suatu garis membujur a-b digambarkan pada permukaan poros tanpa beban. Setelah suatu momen puntir T dikenakan pada poros, garis a-b bergerak menjadi a-b’ seperti ditunjukkan pada Gb. 5-3. Sudut γ, yang diukur dalam radian, diantara posisi garis akhir dengan garis awal didefinisikan sebagai regangan geser pada permukaan poros. Definisi yang sama berlaku untuk setiap titik pada batang poros tersebut.

 

                                                      Gb. 5-3

Modulus elastisitas geser

Rasio tegangan geser τ terhadap regangan geser γ disebut modulus elastisitas geser dan, seperti pada bab 4, diformulasikan dengan:

                                                                                                 (5.3)

Lagi, dimensi untuk G adalah sama dengan dimensi tegangan geser, karena regangan geser tak berdimensi.

Sudut puntir

Jika suatu poros dengan panjang L dikenai momen puntir T secara konstan dikeseluruhan panjang poros, maka sudut puntir (angle of twist) θ yang terbentuk pada ujung poros dapat dinyatakan dengan

                                                                                                           (5.4)

dimana J menunjukkan momen inersia pada penampang melintang poros. Lihat Gb. 5-4. Persamaan ini hanya berlaku untuk poros dalam kondisi elastis.

 

Gb. 5-4

Torsi plastis

Apabila momen puntir yang bekerja baik pada poros pejal maupun poros berlubang dinaikkan terus, nilai momen puntir mungkin akan mencapai titik lelah geser dari bahan bagian luar. Ini adalah batas maksimum untuk momen puntir elastis dan dinyatakan dengan T_e. Kenaikan selanjutnya dari momen puntir menyebabkan tercapainya titik-titik lelah pada bahan untuk posisi lapis yang semakin kedalam, sampai keseluruhan lapisan bahan mencapai titik lelahnya; dan ini menunjukkan terjadinya momen puntir plastis penuh (fully plastic twisting moment) T_p. Kita tidak bicarakan tegangan yang lebih besar dari batas titik lelah, karena ini adalah batas momen puntir yang dapat diberikan oleh poros. Dari hasil beberapa pengujian diperoleh bahwa T_p = 4/3(T_e).

 

Contoh 1.

Jabarkan hubungan antara momen puntir yang bekerja pada poros pejal dan regangan geser yang terjadi pada sembarang titik pada poros tersebut.

Pada gambar (a) disamping, poros dibebani dengan dua torsi T sedemikian sehingga poros dalam kondisi kesetimbangan statis. Untuk menentukan distribusi regangan geser pada poros, poros kita potong dengan suatu bidang yang tegaklurus sumbu poros. Diagram gaya yang bekerja pada potongan sebelah kiri bidang potong ditunjukkan pada gambar (b). Tentu saja agar batang tetap dalam kondisi kesetimbangan maka torsi T harus dipasangkan pada bidang potong potongan melintang. Torsi T pada bagian terpotong ini menunjukkan efek torsi poros sebelah kanan pada poros sebelah kiri. Torsi ini tentu saja merupakan resultan gaya-gaya geser yang terdistribusi pada penampang melintang. Sekarang perlu membuat asumsi untuk menentukan sifat intensitas berbagai tegangan geser pada potongan melintang ini.

Satu asumsi dasar adalah bahwa bagian bidang pada poros yang mempunyai posisi normal terhadap sumbu poros sebelum pembebanan, tetap normal setelah pembebanan. Ini dapat dibuktikan melalui percobaan untuk poros bulat, tetapi asumsi ini tidak tepat untuk poros yang tidak bulat.

Generator (garis sejajar sumbu pada sisi luar poros) yang ditunjukkan dengan garis O₁A pada gambar (c) berubah menjadi O₁B setelah terjadi torsi. Sudut antara kedua garis ini ditunjukkan dengan α. Berdasarkan definisi, unit regangan geser γ pada permukaan poros adalah

                   dimana sudut α diukur dalam radian. Berdasarkan geometri pada gambar diperoleh

                       

atau                

Tetapi karena diameter poros oleh pengaruh pembebanan adalah tetap setelah torsi, unit regangan geser pada jarak ρ dari pusat poros dapat dinyatakan dengan . Konsekuensinya regangan geser pada titik titik arah longitudinal bervariasi secara linier sebagai fungsi jarak dari pusat poros.

Jika hanya kita perhatikan pada rentang linier dimana tegangan geser proporsional dengan regangan geser, maka terbukti bahwa tegangan geser pada arah longitudinal bervariasi linier terhadap jarak dari pusat poros. Distribusinya adalah simetris pada sekeliling sumbu poros, seperti ditunjukkan pada gambar (d). Untuk kesetimbangan, jumlah momen distribusi gaya geser pada potongan melintang ini sama dengan besarnya momen puntir. Juga jumlah momen gaya-gaya adalah sama dengan besarnya torsi T .

Dengan demikian

                  dimana da menyatakan luasan elemen bidang cincin yang diarsir pada gambar (d). Namun demikian, tegangan geser bervariasi terhadap jarak dari sumbu poros; maka

                        dimana subskrip pada tegangan geser menunjukkan jarak elemen dari sumbu poros.

Konsekuensinya kita dapat menulis

                       

karena rasio τ_ρ/ρ adalah konstanta. Namun, pernyataan  berdasarkan definisi adalah momen inersia luasan penampang melintang. Dengan demikian diperoleh:

                                               atau                

 

Contoh 2.

Jabarkan penyataan untuk sudut puntir suatu poros sebagai fungsi momen puntir. Asumsikan bahwa poros bekerja pada rentang elastis. Misalkan L adalah panjang poros, dan J adalah momen inersia penampang melintang, T adalah momen puntir (diasumsikan konstan sepanjang poros), dan G adalah modulus elastisitas geser. Sudut puntir pada panjang L adalah θ seperti ditunjukkan gambar disamping.

Dari contoh 1, kita dapatkan bahwa untuk posisi dimana ρ = r:

                                                dan         

Berdasarkan definisi, modulus geser diberikan dengan , dimana selanjutnya kita peroleh .  Disini θ dinyatakan dalam radian.

Kadang-kadang sudut puntir juga dinyatakan dalam unit panjang; sering dinyatakan dengan , dan dinyatakan dengan

Contoh 3.

Suatu poros dijepit di salah satu ujungnya, ujung lainnya bebas, dan dibebani dengan momen putir secara seragam disepanjang poros dengan besar t per satuan panjang (Gb (a)). Kekakuan poros adalah GJ. Tentukan besarnya sudut puntir pada ujung bebas poros.

 

(b)

 

Momen puntir per unit panjang dinyatakan dengan t, dan koordinat x mempunyai origin disebelah kiri. Diagram porsi batang ujung sebelah kiri dan bagian x ditunjukkan pada gambar (b). Suatu elemen dengan panjang dx tampak pada gambar dan kita akan menentukan sudut putar pada elemen silinder dengan panjang dx ini. Untuk kesetimbangan momen terhadap sumbu batang, suatu momen puntir tx bekerja pada bagian sebelah kanan bagian. Momen puntir tx ini menyebabkan elemen sepanjang dx terpuntir dengan sudut putar:

                         

Total putaran pada ujung sebelah kiri diperoleh dengan integrasi keseluruhan elemen sedemikian sehingga sudut puntir dapat dinyatakan dengan

                       

 Sumber: Matakuliah MKM